SISTEMA Y MAQUINAS DE FLUIDOS: 2.2 Ecuación fundamental de las turbo maquinas(Ecuación de Euler)

2.2 Ecuación fundamental de las turbo maquinas(Ecuación de Euler)

Se denomina ecuación de Euler a la ecuación fundamental que describe el comportamiento de una turbomáquina bajo la aproximación de flujo unidimensional.

$\dot W={\dot m}(c_{1u}u_1-c_{2u}u_2)$

donde:

$\dot W$ es la potencia trasegada por la máquina. Esta es obtenida ( $\dot W > 0$ ) para una turbina y cedida ( $\dot W < 0$ ) para una bomba.

$\dot m$ es el caudal másico que atravisa la máquina.

c es la velocidad absoluta del fluido. El subíndice u indica que se considera solo la velocidad tangencial. Los subíndices 1 y 2 indican entrada y salida respectivamente.

u es la velocidad del rodete. Se ve que $u=\omega{}R$

DEFINICION

Partiendo de la Ley de Newton para un sistema abierto podemos enunciar la conservación de momento cinético para un volumen fluido:

$E=\frac{d(\dot m c)}{dt}$

donde E son las fuerzas en ese volumen, m la masa del mismo y c la velocidad de este.

Si integramos para el volumen encerrado en la turbomáquina, podemos obtener la resultante para toda ella:

$\iiint_1^2 E = \iiint_1^2 \frac{d {\dot m}c}{dt} F=\dot m*(c_1-c_2)$

Pero dado que en una turbomáquina la transferencia de energía se produce a través del momento angular solo nos interesa la componente tangencial de c, $c_u$ . Dicha componente produce un par:

$\Gamma = {\dot m}(r_1c_{1u}-r_2c_{2u})$

donde R es la distancia con respecto al eje

Finalmente, vemos que la potencia $\dot W$ transferida es el par por la velocidad angular:

$\dot W=\Gamma\omega={\dot m}\omega(r_1c_{1u}-r_2c_{2u})={\dot m}(c_{1u}u_1-c_{2u}u_2)$

FORMA ALTERNATIVA DE LA ECUACION DE EULER

Si se parte de los triángulos de velocidades se ve que por trigonometría:

$w^2=c^2+u^2-2uc_{u}$

con ello:

$u_1c_{u1}=\frac{1}{2}(c_1^2+u_1^2-w_1^2)$

$u_2c_{u2}=\frac{1}{2}(c_2^2+u_2^2-w_2^2)$

Y se deduce que la ecuación de Euler se puede escribir también como:

$\dot W = \frac{\dot m}{2}((c_1^2-c_2^2)+(u_1^2-u_2^2)-(w_1^2-w_2^2))$

En esta formulación se pueden ver por separado las distintas contribuciones a la potencia transferida, obteniéndose recomendaciones para el diseño de turbomaquinaria:

Para comunicar o extraer energía por unidad de masa del fluido interesa que $u_1$ y $u_2$ sean distintas. Esto ocurre con las turbomáquinas centrífugas, que logran unas mayores potencias específicas. Sin embargo, facilidades constructivas puede interesar una máquina axial que trasiegue mayores caudales sin este efecto adicional.
Igualmente interesa siempre acelerar la velocidad absoluta del fluido (compresor) o desacelerarla (turbina) mientras que interesa desacelerar la velocidad relativa (compresor) o acelerarla (turbina).

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